Cho hai số a và b dương thỏa mãn a3 + b3 = 3ab – 1. Tìm a và b

Lời giải.

a³ + b³ = 3ab – 1

(a + b). (a² – ab + b²) = 3ab – 1

(a + b). (a² + 2ab + b² – 3ab) = 3ab – 1

(a + b)³ – 3ab(a + b) = 3ab – 1

(a + b)³ + 1 – 3ab (a + b) – 3ab = 0

(a + b + 1) (a² + 2ab + b² – a – b + 1) – 3ab (a + b + 1) = 0

(a + b + 1) (a² + 2ab + b² – a – b + 1− 3ab) = 0

(a + b + 1) (a² −ab + b² – a – b + 1) = 0

(a + b + 1) (2a² −2ab + 2b² – 2a – 2b + 2) = 0

(a + b + 1) (a² −2a + 1 + b² – 2b +1 + a² – 2ab + b² ) = 0

(a + b + 1) \(\left[ {{{(a - 1)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right]\)= 0 

Vì a, b là 2 số dương , nếu a,b là 2 số dương thì loại được trường hợp a+b+1=0 .

Suy ra a = b = 1