Cho hai mặt phẳng ( P ) : 5x − 4y + z − 6 = 0 , ( Q ) : 2x − y + z + 7 = 0 và đường thẳng Δ : (x − 1)/ 7 = y/3 = (z − 1)/ − 2 . Phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và Δ

60/88

Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right){\rm{: }}5x - 4y + z - 6 = 0,{\rm{ }}\left( Q \right):{\rm{ }}2x - y + z + 7 = 0\] và đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{7} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\]. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và \[\Delta \] sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là \[20\pi \] là:

$(S):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}$.

$(S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}$.

$(S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{100}}{3}$.

$(S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}$.

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Ta có \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\] . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{cases} x = 1 + 7 t (1) \\ y = 3 t (2) \\ z = 1 - 2 t (3) \\ 5 x - 4 y + z - 6 = 0 (4) \end{cases}$

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: \[5\left( {1 + 7t} \right) - 4\left( {3t} \right) + \left( {1 - 2t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;0;1} \right)\].

Ta có : \[d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{5\sqrt 6 }}{3}\].

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: \[20\pi = \pi {r^2} \Leftrightarrow r = 2\sqrt 5 .\]

R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: $R = \sqrt {{{\left[ {d\left( {I,\left( Q \right)} \right)} \right]}^2} + {r^2}} = \frac{{\sqrt {330} }}{3}.$ Vậy (S) : ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}$.