Cho hai hình cầu như hình vẽ. Biết rằng bán kính của hai hình cầu đều bằng 5

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho tâm của một hình cầu trùng với gốc tọa độ \(O(0,0,0)\).

·                  Phương trình mặt cầu: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {5^2}\)

·                  Khoảng cách giữa hai tâm là \(6\), nên mặt phẳng cắt chia đôi khoảng cách này nằm tại \(x = 3\).

·                  Chỏm cầu là phần hình đặc giới hạn từ \(x = 3\) đến \(x = 5\).

Thể tích của chỏm cầu được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn \(y = \sqrt {25 - {x^2}} \) quanh trục Ox, trong đoạn từ \(x = 3\) đến \(x = 5\).

Ta có:

\({V_{chom}} = \pi \int_3^5 {{y^2}} {\mkern 1mu} dx = \pi \int_3^5 {(25 - {x^2})} {\mkern 1mu} dx\)

\({V_{chom}} = \pi \left[ {25x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_3^5\)

\({V_{chom}} = \pi \left( {\left[ {25(5) - \frac{{{5^3}}}{3}} \right] - \left[ {25(3) - \frac{{{3^3}}}{3}} \right]} \right)\)

\({V_{chom}} = \pi \left( {\left[ {125 - \frac{{125}}{3}} \right] - \left[ {75 - 9} \right]} \right)\)

\({V_{chom}} = \pi \left( {\frac{{250}}{3} - 66} \right) = \pi \left( {\frac{{250 - 198}}{3}} \right) = \frac{{52}}{3}\pi \)

Vì phần chung của hai hình cầu gồm hai chỏm cầu bằng nhau:

\({V_C} = 2 \times {V_{chom}} = 2 \times \frac{{52}}{3}\pi = \frac{{104}}{3}\pi \)

Suy ra:

\[\frac{a}{b} = \frac{{104}}{3} \Rightarrow a = 104,\;b = 3 \Rightarrow T = ab = 312.\]