Cho hai hàm số f (x) = ax^3 + bx^2 + cx − 2 và g (x) = dx^2 + ex + 2
36/92
Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − 2 và g (x) = dx2 + ex + 2 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:
ax3 + bx2 + cx − 2 = dx2 + ex + 2
Û ax3 + (b − d)x2 + (c − e)x − 4 = 0 (1)
Vì phương trình (1) có các nghiệm −2; −1; 1 nên:
a . −23+b−d . −22+c−e . −2−4=0a . −13+b−d . −12+c−e . −1−4=0a . 13+b−d . 12+c−e . 1−4=0
⇔−8a+4b−d−2c−e−4=0−a+b−d−c−e−4=0a+b−d+c−e−4=0
⇔3a−3b−d+6=02b−d−8=0a+b−d+c−e−4=0
⇔a=b−d−2b−d=4a+b−d+c−e=4
⇔a=2b−d=4c−e=4−a−b−d⇔a=2b−d=4c−e=−2
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
S=∫−2−1fx−gxdx+∫−11gx−fxdx
=∫−2−1ax3+b−dx2+c−ex−4dx+∫−11−ax3−b−dx2−c−ex+4dx
=∫−2−12x3+4x2−2x−4dx+∫−11−2x3−4x2+2x+4dx
=x42+4x33−x2−4x−2−1+−x42−4x33+x2+4x−11
=−142+4 . −133−−12−4 . −1−−242−4 . −233+−22−4 . −2
−142−4 . 133+12+4 . 1+−142+4 . −133−−12−4 . −1
=12−43−1+4−8+323+4+8−12−43+1+4+12−43−1+4
=376