Cho hai hàm số y= x^2 -2(m-1)x -2m và y=2x+3 . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt

66/180

Cho hai hàm số y=x2−2m−1x−2m và y=2x+3 . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt sao cho OA2+OB2 nhỏ nhất (trong đó O là gốc tọa độ).

m=1195

m=1110

m=−1110

Không tồn tại m .

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

x2−2m−1x−2m=2x+3⇔x2−2mx−2m−3=0 (*)

Ta có:Δ'=m2+2m+3>0 với mọi m nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt hay hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B .

Gọi là hai nghiệm của phương trình (*) . Khi đó

Ta có OA→=xA;2xA+3, OB→=xB;2xB+3 .

OA2+OB2=xA2+2xA+32+xB2+2xB+32=5xA2+xB2+12xA+xB+18=5xA+xB2+12xA+xB+18−10xAxB1

Theo định lí Vi-et ta có xA+xB=2m, xAxB=−2m−3

Khi đó (1) trở thành OA2+OB2=20m2+44m+48=20m+11102+1195

Tìm được OA2+OB2 nhỏ nhất bằng 1195 khi m=−1110 .

Vậy m=−1110 là giá trị cần tìm.