Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) và \(y = g\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} - 4\).

a) Ta có \(g'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\). Qua \(x = 2\), \(g'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm nên \(x = 2\) là điểm cực đại. Cực tiểu phải là \(x = 0\).

Chọn: SAI

b) Tổng \(S = f\left( 1 \right) \cdot f\left( 2 \right) + f\left( 2 \right) \cdot f\left( 3 \right) + f\left( 3 \right) \cdot f\left( 4 \right) + ... + f\left( {2025} \right) \cdot f\left( {2026} \right)\)

\( = 1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} \cdot \frac{1}{{2026}}\)

\( = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}} \right) = \frac{{2025}}{{2026}}\).

Do đó \(k\left( x \right) = 2025{x^3} - 6075x \Rightarrow k'\left( x \right) = 6075\left( {{x^2} - 1} \right)\). Ta có \(k'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).

Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 1;1} \right]\), không phải trên toàn bộ khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\).

Chọn: SAI

c) Ta có \(f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 0\).

Chọn: ĐÚNG

d) Ta có \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Như vậy \(h\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {3;6} \right]\) nên giá trị lớn nhất đạt được tại \(x = 3 \Rightarrow {\rm{max}} = h\left( 3 \right) = \frac{7}{3} \ne \frac{{13}}{6}\).

Chọn: SAI