Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên R và thỏa mãn f^3 (2 - x) - 2.f^2 (2 + 3x)+x^2.g (x) + 36x = 0, (với mọi x thuộc R. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

\[{f^3}(2 - x) - 2{f^2}(2 + 3x) + {x^2}.g(x) + 36x = 0\], \[\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]\[\left( 1 \right)\].

Vì \[\left( 1 \right)\]đúng\[\,\forall x \in \mathbb{R}\] nên cũng đúng với\[x = 0 \Rightarrow {f^3}(2) - 2{f^2}(2) = 0\,\,\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f(2) = 0\\f(2) = 2\end{array} \right.\]

Lấy đạo hàm hai vế của \[\left( 1 \right)\]ta có:

\[ - 3{f^2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x) + 2x.g(x) + {x^2}.g'(x) + 36 = 0\,\], \[\,\forall x \in \mathbb{R}\]

Cho \[x = 0\]\[ \Rightarrow  - 3{f^2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\,\]\[\left( 2 \right)\].

Ta thấy \[f(2) = 0\] không thỏa mãn \[\left( 2 \right)\]nên \[f(2) = 2\], khi đó \[f'(2) = 1\]\[ \Rightarrow 3f(2) + 4f'(2) = 10\]..

Vậy \(A = 3.f\left( 2 \right) + 4.f'\left( 2 \right) = 10\).