Cho hai hàm số f(x) =ax^3+bx^2+cx-1/2 và g (x) = dx^2 + ex + 1
37/92
Cho hai hàm số fx=ax3+bx2+cx−12 và g (x) = dx2 + ex + 1 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:
ax3+bx2+cx−12=dx2+ex+1
⇔ax3+b−dx2+c−ex−32=0 *
Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm là −3; −1; 1.
Ta được ax+3x+1x−1=ax3+b−dx2+c−ex−32
⇔ax+3x2−1=ax3+b−dx2+c−ex−32
⇔ax3+3ax2−ax−3a=ax3+b−dx2+c−ex−32
Đồng nhất hai vế ta suy ra:
3a=b−d−a=c−e−3a=−32⇔a=12b−d=32c−e=−12
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là
S=∫−3−112x3+32x2−12x−32dx+∫−11−12x3−32x2+12x+32dx
=x48+x32−x24−3x2−3−1+−x48−x32+x24+3x2−11
=−148+−132−−124−3 . −12−−348−−332+−324+3 . −32
−148−132+124+3 . 12+−148+−132−−124−3 . −12
=18−12−14+32−818+272+94−92−18−12+14+32+18−12−14+32= 4.