Cho hai hàm số f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx - {1} / {2}

35/235

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - \frac{1}{2}$ và $g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 1$$\left( {a,b,c,d,e \in \mathbb{R}} \right)$. Biết rằng đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $ - 3; - 1;1$ (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng

$Cho hai hàm số f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx - {1} / {2} (ảnh 1)$

$\frac{9}{2}$.

Giải thích

Đáp án

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ là

$a{x^3} + b{x^2} + cx - \frac{1}{2} = d{x^2} + ex + 1 \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2} = 0.\left( {\rm{*}} \right)$

Do đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $ - 3; - 1;1$ nên phương trình (${\rm{*}}$) có ba nghiệm $x = - 3;x = - 1;x = 1$. Khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 27a + 9\left( {b - d} \right) - 3\left( {c - e} \right) - \frac{3}{2} = 0}\\{ - a + \left( {b - d} \right) - \left( {c - e} \right) - \frac{3}{2} = 0}\\{a + \left( {b - d} \right) + \left( {c - e} \right) - \frac{3}{2} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b - d = \frac{3}{2}}\\{a = \frac{1}{2}}\\{c - e = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array}} \right.} \right.$.

Suy ra $f\left( x \right) - g\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.

Vậy hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho có diện tích là

$Cho hai hàm số f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx - {1} / {2} (ảnh 2)$

$ = 2 + 2 = 4$.