Cho hai hàm số f(x) = 3(x^2) và g(x) = 2x xác định trên tập số thực. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Ta có \({\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2} = f(x)\) nên \({x^3}\) là một nguyên hàm của f(x).

b) Đúng. Ta có \({\left( {{x^2} + C} \right)^\prime } = 2x = g(x)\).

c) Đúng. Áp dụng tính chất nguyên hàm của một hiệu:

\(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}  = \int {f(x)dx}  - \int {g(x)dx}  = {x^3} - {x^2} + C\).

d) Sai. Nguyên hàm không có tính chất

\(\int {f(x) \cdot g(x)dx}  = \int {f(x)dx}  \cdot \int {g(x)dx} .\)

Ta phải tính trực tiếp \(\int {f(x) \cdot g(x)dx}  = \int {6{x^3}dx}  = \frac{3}{2}{x^4} + C\).