Cho hai hàm số f(x) = 2x^2 và g(x) = căn bậc hai của log2 x. Giả sử S = tích phân từ 1 đến 20 của f(x) dx + tích phân từ 2 đến 400 của g(x) dx được viết dưới dạng S = a · 2^b − c, với b là số

22/22

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = {2^{{x^2}}}$ và $g\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_2}x} $. Giả sử $S = \int_1^{20} f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_2^{{2^{400}}} g \left( x \right){\rm{d}}x$ được viết dưới dạng $S = a \cdot {2^b} - c$, với $b$ là số nguyên và $a$, $c$ là các số nguyên tố. Tính $a + b + c$.

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 409

Chứng minh bổ đề:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến) trên đoạn $[a,b]$. Khi đó, tồn tại hàm số ngược $x = {f^{ - 1}}\left( x \right)$ xác định trên đoạn có hai đầu mút là $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$. Ta luôn có đẳng thức sau:

$\int_a^b f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {{f^{ - 1}}} \left( x \right){\rm{d}}x = b \cdot f\left( b \right) - a \cdot f\left( a \right)$.

Chứng minh:

$Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {2^{ (ảnh 1)$

- Tích phân $\int_a^b f \left( x \right){\rm{d}}x$ chính là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $f\left( x \right)$, trục hoành $Ox$, và hai đường thẳng $x = a,x = b$.

- Bây giờ, hãy nhìn đồ thị $y = f\left( x \right)$ từ góc độ của trục tung $Oy$. Theo định nghĩa hàm ngược, diện tích nằm giữa đồ thị $f\left( x \right)$, trục tung $Oy$ và hai đường thẳng $y = f\left( a \right),y = f\left( b \right)$ chính là tích phân $\int_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {{f^{ - 1}}} \left( y \right){\rm{d}}y$.

· Hình chữ nhật lớn: Có các cạnh là $b$ và $f\left( b \right) \Rightarrow {S_L} = b \cdot f\left( b \right)$.

· Hình chữ nhật nhỏ: Có các cạnh là $a$ và $f\left( a \right) \Rightarrow {S_N} = a \cdot f\left( a \right)$.

Vì vậy, tổng hai tích phân chính bằng: ${S_L} - {S_N} = b \cdot f\left( b \right) - a \cdot f\left( a \right)$.

Hoàn tất chứng minh.

Trở lại bài toán:

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = {2^{{x^2}}}$ (với $x \ge 1$).

Ta có ${\log _2}y = {x^2} \Rightarrow x = \sqrt {{{\log }_2}y} $.

Do đó, hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_2}x} $ chính là hàm ngược của $f\left( x \right)$, hay $g\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right)$.

Áp dụng công thức tích phân hàm ngược:

\[S = \int_1^{20} f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_2^{{2^{400}}} g \left( x \right){\rm{d}}x = \int_1^{20} f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_{f\left( 1 \right)}^{f\left( {20} \right)} g \left( x \right){\rm{d}}x\]

\[ = 20 \cdot f\left( {20} \right) - 1 \cdot f\left( 1 \right) = 20 \cdot {2^{400}} - 2 = \left( {5 \cdot 4} \right) \cdot {2^{400}} - 2 = 5 \cdot {2^{402}} - 2\]

Suy ra: $a = 5$ (là số nguyên tố);

$b = 402$ (là số nguyên);

$c = 2$ (là số nguyên tố);

$a + b + c = 5 + 402 + 2 = {\bf{409}}$.