Cho hai góc alpha , beta thỏa mãn sin alpha = 5/ 13, ( pi/2 < a< pi) và cos beta = 3/5 ( 0; beta< pi/2). Tính giá trị của cos(a − b).

3/10

Cho hai góc a, b thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}},\left( {\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi } \right)\) và \(cos\beta = \frac{3}{5},\left( {0 < \beta < \frac{\pi }{2}} \right)\). Tính giá trị của cos(a − b).

\(\frac{{16}}{{65}}\);

\( - \frac{{18}}{{65}}\);

\(\frac{{18}}{{65}}\);

\( - \frac{{16}}{{65}}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có sin²a + cos²a = 1 mà \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\) nên \(co{s^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên cosa < 0. Do đó \(cos\alpha = - \frac{{12}}{{13}}\).

Có sin²b + cos²b = 1 mà \(cos\beta = \frac{3}{5}\) nên \({\sin ^2}\beta = \frac{{16}}{{25}}\).

Vì \(0 < \beta < \frac{\pi }{2}\) nên sinb > 0. Do đó \(\sin \beta = \frac{4}{5}\).

Áp dụng công thức cộng lượng giác

cos(a − b) = cosa×cosb + sina×sinb = \( - \frac{{12}}{{13}} \cdot \frac{3}{5} + \frac{5}{{13}} \cdot \frac{4}{5} = - \frac{{16}}{{65}}\).