Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB của (O); đường kính AO’C của (O’). Gọi DE vừa là tiếp tuyến của đường tròn (O) vừa là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

a) Đúng. Ta có \[DE\] vừa là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] vừa là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( {O'} \right)\] \[\left( {D \in \;\left( O \right);\,\,E \in \left( {O'} \right)} \right).\]

Suy ra \[OD \bot DE\] và \[OE \bot DE\] nên \[OD\,\,{\rm{//}}\,\,O'E.\]

b) Sai. Xét tam giác \[OAD\] cân tại \[O\] nhưng không có thêm điều kiện gì nên chưa thể khẳng định \[\widehat {AOD} = 60^\circ .\]

c) Đúng. Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có \[OD = OA\] nên \[\Delta OAD\] cân tại \[O\] suy ra \[\widehat {ODA} = \widehat {OAD}.\]

Xét đường tròn \[\left( {O'} \right)\] có \[O'E = O'A\] nên \[\Delta O'EA\] cân tại \[O'\] suy ra \[\widehat {O'EA} = \widehat {O'AE}.\]

Mà \[\widehat O + \widehat {O'} = 360^\circ  - \widehat {O'ED} - \widehat {ODE} = 180^\circ \].

Khi đó: \[180^\circ  - \widehat {ODA} - \widehat {OAD} + 180^\circ  - \widehat {O'EA} - \widehat {O'AE} = 180^\circ \]

\[2\left( {\widehat {OAD} + \widehat {O'AE}} \right) = 180^\circ \]

\[\widehat {OAD} + \widehat {O'AE} = 90^\circ \]

\[\widehat {DAE} = 90^\circ .\]

Suy ra \[\Delta ADE\] vuông tại \[A\].

Mà \[\;\widehat {BAD} = 90^\circ \] (vì tam giác \[BAD\] có cạnh \[AB\] là đường kính của \[\left( O \right)\] và \[D \in \;\left( O \right))\] nên \[BD\; \bot AD\] hay \[\;\widehat {MDA} = 90^\circ .\]

Tương tự ta có \[\;\widehat {MEA} = 90^\circ .\]

Do đó tứ giác \[DMEA\] là hình chữ nhật.

d) Sai. Ta có \[\widehat {MAE} = \widehat {DEA}\] (tính chất hình chữ nhật \[DMEA\])

Mà \[\widehat {EAO'} = \widehat {O'EA}\] (\[\Delta O'AE\] cân tại \[O'\]) nên \[\widehat {MAO'} = \widehat {O'ED}\].

Lại có \[\widehat {O'ED} = 90^\circ \] nên \[\widehat {O'AM} = 90^\circ \] hay \[MA \bot OO'.\]

Mà \[A \in \left( {O'} \right)\] suy ra \[MA\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( {O'} \right)\].