Cho hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O′) tại F (E, F ≠ A). Biết điểm A nằm trong đoạn EF.

a) Đúng.

Vì \(\Delta OAE\) cân tại \(O\) nên \(OI\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

     \(\Delta O'AF\) cân tại \(O'\) nên \(O'K\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, \(OI \bot EF,\,O'K \bot EF\) suy ra \(OI\parallel O'K\).

b) Đúng.

Có \(OI\parallel O'K\) nên \(OO'KI\) là hình thang.

Lại có \(\widehat {OIK} = \widehat {IKO'} = 90^\circ \) nên \(OO'KI\) là hình thang vuông.

c) Sai.

Vì \(I\) là trung điểm của \(AE\) nên \(IA = \frac{1}{2}AE\).

Vì \(K\) là trung điểm của \(AF\) nên \(AK = \frac{1}{2}AF\).

Suy ra \(IK = IA + AK = \frac{1}{2}AE + \frac{1}{2}AF = \frac{1}{2}\left( {AE + AF} \right) = \frac{1}{2}EF\).

Vậy \(IK = \frac{1}{2}EF.\)

d) Đúng.

Hình thang \(OO'KI\) là hình chữ nhật khi và chỉ khi \(\widehat {OIO'} = 90^\circ \) hay \(OI \bot OO'\).

Mà \(d \bot OI\) nên \(d\parallel OO'\).

Vậy để \(OO'KI\) là hình chữ nhật thì đường thẳng \(d\) qua \(A\) và song song với \(OO'.\)