Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng đi qua A (không đi qua hai tâm) cắt (O) và (I) lần lượt tại C và D. Vẽ các đường kính AOE và AIF. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng.

Vì 3 điểm A, B, E thuộc (O; OA) nên OA = OB = OE nên OB = \(\frac{1}{2}\)AE.

DABE có BO là đường trung tuyến và BO = \(\frac{1}{2}\)AE nên DABE vuông tại B.

Vậy \(\widehat {{\rm{ABE}}} = 90^\circ .\)

b) Đúng.

Chứng minh tương tự phần a) ta có: \(\widehat {{\rm{ABF}}} = 90^\circ .\)

Ta có: \(\widehat {{\rm{EBF}}} = \widehat {{\rm{ABE}}} + \widehat {{\rm{ABF}}} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ .\)

Vậy ba điểm E, B, F thẳng hàng.

c) Đúng.

Chứng minh tương tự phần a) ta có: \(\widehat {{\rm{ECA}}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{FDA}}} = 90^\circ .\)

Do đó, EC ^ CD, FD ^ CD, suy ra EC // DF.

Do đó, tứ giác ECDF là hình thang.

Lại có \(\widehat {{\rm{FDC}}} = 90^\circ \).

Vậy tứ giác ECDF là hình thang vuông.

d) Sai.

Tam giác AEF có: O là trung điểm của AE, I là trung điểm của AF nên OI là đường trung bình của tam giác AEF.

Vậy EF = 2OI.