Cho hai đường tròn (O;R) và tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung ngoài BC cắt đường nối tâm ở M, trong đó B thuộc (O)

25/25

Cho hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và tiếp xúc ngoài tại $A$. Tiếp tuyến chung ngoài $BC$ cắt đường nối tâm ở $M$, trong đó $B \in \left( O \right)$, $C \in \left( {O'} \right)$ và $BC = CM = 4cm$. Tổng $R + r$ bằng

$4cm$.

$3\sqrt 2 cm$.

$6cm$.

$5\sqrt 2 cm$.

Giải thích

Chọn B

Lưu ý: Có cách kẻ tiếp tuyến chung tại $A$ nữa.

Đây là câu trong đề thi TS tỉnh Bắc Ninh năm 2021-2022.

$Cho hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và tiếp xúc ngoài tại $A$. Tiếp tuyến chung ngoài $BC$ cắt đường nối tâm ở $M$, trong đó $B \in \left( O \right)$, \(C \in \left( {O'} \rig (ảnh 1)$

Ta có $B \in (O)$, $C \in (O')$ và $BC = CM = 4\;{\rm{cm}}$nên $C$ là trung điểm của $BM$.

Lại có $OB \bot BM$ và $CO' \bot BC$ ($BC$ là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn)

$ \Rightarrow CO'{\rm{ // }}OB$.

Xét $\Delta OBM$ có $C$ là trung điểm của $BM$ và $CO\prime {\rm{ // }}OB$

Suy ra $O\prime $ là trung điểm của $OM$.

Do đó $CO\prime $ là đường trung bình của $\Delta OBM$.

$ \Rightarrow CO\prime = \frac{1}{2}OB$ hay $OB = R = 2r$

Và $OM = 2OO' = 2(R + r) = 6r$

Áp dụng định lý Pytago cho $\Delta OBM$ vuông tại $B$ có

$O{B^2} + B{M^2} = O{M^2}$

$ \Rightarrow {\left( {2r} \right)^2} + {8^2} = {\left( {6r} \right)^2}$$ \Leftrightarrow 4{r^2} + 64 = 36{r^2}$

$ \Leftrightarrow 32{r^2} = 64$$ \Leftrightarrow {r^2} = 2$

$ \Leftrightarrow r = \sqrt 2 $

Suy ra $R + r = 3r = 3\sqrt 2 \left( {{\rm{cm}}} \right)$.