Cho hai đường tròn ( O; R ) và ( O'; R') cắt nhau tại hai điêm r

4/5

Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\) (\(R > R'\) và \[O,{\rm{ }}O'\] thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ \(AB\)). Đường thẳng \(AO\) cắt \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại \(C\) và \(M,\) đường thẳng \(AO'\) cắt \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại \(N\) và \(D\) (\(C,\,\,D,\,\,M,{\rm{ }}N\) khác \(A\)). Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD;\,\,H\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM.\)

a) Chứng minh rằng năm điểm \(M,\,\,N,\,\,O,\,\,K,\,\,B\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi \(\left( I \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCD;\)\(E\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(B;\) \(P\) là giao điểm của \(AE\) và \[HD;{\rm{ }}F\] là giao điểm của \(BH\) với \(\left( I \right)\,\)(\(F\) khác \(H\)); \(Q\) là giao điểm của \(CF\) với \(BP.\) Chứng minh rằng \(BP = BQ.\)

c) Chứng minh rằng \(\widehat {IBP} = 90^\circ .\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho hai đường tròn ( O; R ) và ( O'; R') cắt nhau tại hai điêm r (ảnh 1)

Ta có \(\widehat {ANC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)) \( \Rightarrow AD \bot CH.\)

\(\widehat {CMD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O'} \right)\))\( \Rightarrow AC \bot DH.\)

Suy ra \(A\) là trực tâm tam giác \(HCD \Rightarrow HA \bot CD \Rightarrow H,\,A,\,B\) thẳng hàng.

Dễ có tứ giác \(CDMN\) nội tiếp đường tròn tâm \(K \Rightarrow \widehat {MKN} = 2\widehat {MCN}\)(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn ) và \(\widehat {HCM} = \widehat {HDN}\,\,\left( 1 \right).\)

Ta có tứ giác \(ABCN\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {ACN} = \widehat {ABN}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Tứ giác \(ABDM\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {ABM}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Kết hợp với \(\left( 1 \right)\) suy ra

\(\widehat {ABN} = \widehat {ABM} = \widehat {ACN} \Rightarrow \widehat {MKN} = \widehat {MBN} = 2\widehat {ACN}{\rm{ }}\left( 2 \right).\)

Ta có \(\widehat {MON} = 2\widehat {ACN} = \widehat {MBN}{\rm{ }}\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra 5 điểm \(M,\,\,N,\,\,O,\,\,K,\,\,B\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi \(\left( I \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCD;\)\(E\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(B;\)\(P\) là giao điểm của \(AE\) và \[HD;{\rm{ }}F\] là giao điểm của \(BH\) với \(\left( I \right)\,\)(\(F\) khác \(H\)); \(Q\) là giao điểm của \(CF\) với \(BP.\) Chứng minh rằng \(BP = BQ.\)

Cho hai đường tròn ( O; R ) và ( O'; R') cắt nhau tại hai điêm r (ảnh 2)

Xét tứ giác \(ACFE\) có hai đường chéo \(CE \bot AF\) tại trung điểm \(B\) của \(CE{\rm{ }}\left( 1 \right).\)

Ta có \(\widehat {DCM} = \widehat {BHD}\) (cùng phụ với \(\widehat {CDH}\)). Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {DCF}\) (góc nội tiếp cùng chắn )\( \Rightarrow \widehat {DCM} = \widehat {DCF}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(ACFE\) là hình thoi.

Xét hai \(\Delta BPE\) và \(\Delta BQC\) có \(\widehat {BEP} = \widehat {BCQ}\) (so le trong), \(BE = BC,{\rm{ }}\widehat {EBP} = \widehat {CBQ}\) (đối đỉnh). Suy ra

\(\Delta BPE = \Delta BQC{\rm{ (g - c - g)}} \Rightarrow BP = BQ\) (đpcm).

c) Chứng minh rằng \(\widehat {IBP} = 90^\circ .\)

Gọi \(S,{\rm{ }}T\) là giao điểm của \(BQ\) và \(\left( I \right)\) (như hình vẽ).

Xét tứ giác \(ADEH\) có \(\widehat {AED} = \widehat {AHD}\,\,\)(cùng bằng \(\widehat {ACE}\)), suy ra tứ giác \(ADEH\) nội tiếp \( \Rightarrow PD.PH = PA.PE = PT.PS.\)

Từ \(\Delta BPE = \Delta BQC \Rightarrow PE = QC \Rightarrow PA = QF \Rightarrow PA.PE = QF.QC = QS.QT.\)

Vậy \[QS.QT = PT.PS \Leftrightarrow QS.\left( {PQ + PT} \right) = PT.\left( {PQ + QS} \right)\]

\[ \Leftrightarrow QS.PQ + QS.PT = PT.PQ + PT.QS \Leftrightarrow QS.PQ = PT.PQ \Leftrightarrow QS = PT \Rightarrow B\] là trung điểm của \(ST\)\( \Rightarrow IB \bot ST \Rightarrow \widehat {IBP} = 90^\circ \) (đpcm).