Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt. Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại A và cắt (O), (O’) lần lượt tại C, D. Tia CB cắt (O’) tại E, tia DB cắt (O) t

a) Trong đường tròn (O’), ta có:

⦁  (góc nội tiếp chắn cung AB);

⦁  (góc nội tiếp chắn cung AB).

Suy ra \(\widehat {CDB} = \widehat {CEA}.\)

Xét ∆CDB và ∆CEA có:

Góc C chung; \(\widehat {CDB} = \widehat {CEA}.\)

Do đó ∆CDB ᔕ ∆CEA (g.g)

Suy ra \(\frac{{CD}}{{CE}} = \frac{{CB}}{{CA}}\) hay CD.CA = CB.CE.

b) Xét đường tròn (O) có \[\widehat {DCB} = \widehat {AFB} = \widehat {AFD}\] (hai góc nội tiếp chắn dây cung AB)

Xét ∆CDB và ∆FDA có:

Góc D chung; \[\widehat {DCB} = \widehat {AFD}\]

Do đó ∆CDB ᔕ ∆FDA (g.g)

Suy ra \[\frac{{CD}}{{FD}} = \frac{{BD}}{{DA}}\] hay DC.DA = DB.DF.

c) Ta có:

CB.CE + DB.DF = CD.CA + DC.DA = CD(CA + AD) = CD.CD = CD².

Vậy CB.CE + DB.DF = CD².