Cho hai đường tròn (O; 2 cm) và (I; 1 cm) cắt nhau tại A và B sao cho OA vuông góc với AI tại A. Gọi D là giao điểm của AC và OI. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Sai.

Vì DAOI vuông tại A nên OI² = AI² + AO² = 5 (định lý Pythagore). Vậy OI = \(\sqrt 5 \) cm.

b) Đúng.

Vì AI = IC nên I thuộc đường trung trực của AC.

Vì OA = OC nên O thuộc đường trung trực của AC.

Do đó, OI là đường trung trực của AC, suy ra AC ^ OI tại D.

Vậy AD ^ OI.

c) Sai.

DAID và DOIA có: \(\widehat {{\rm{ADI}}} = \widehat {{\rm{OAI}}} = 90^\circ ,\widehat {{\rm{AIO}}}\) chung nên .

Suy ra \(\frac{{{\rm{DI}}}}{{{\rm{AI}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{OI}}}}\) suy ra \({\rm{DI}} = \frac{{{\rm{A}}{{\rm{I}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{OI}}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy DI < 1 cm.

d) Sai.

Ta có: AD.OI = OA.AI (= 2.\({{\rm{S}}_{{\rm{\Delta AOI}}}}\)) nên \({\rm{AD}} = \frac{{{\rm{OA}}.{\rm{AI}}}}{{{\rm{OI}}}} = \frac{{2 \cdot 1}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vì AD – DI \( < {\rm{AI}}\) < AD + DI nên đường tròn (A; AD) và đường tròn (I; DI) cắt nhau.