Cho hai đường tròn (O_1) và (O_2)tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d tiếp xúc với (O_1); (O_2)lần lượt tại B;C. Lấy M là trung điểm của BC

Chọn A

Xét \(({O_1})\)có \({O_1}B = {O_1}A\)

\( \Rightarrow \Delta {O_1}AB\) cân tại \({O_1} \Rightarrow \widehat {{O_1}BA} = \widehat {{O_1}AB}\).

Xét \(({O_2})\)có \({O_2}C = {O_2}A\)

\( \Rightarrow \Delta {O_2}CA\) cân tại \({O_2} \Rightarrow \widehat {{O_2}CA} = \widehat {{O_2}AC}\).

Mà \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = {360^0} - \widehat C - \widehat B = {180^0}\)

\( \Leftrightarrow {180^0} - \widehat {{O_1}BA} - \widehat {{O_1}AB} + {180^0} - \widehat {{O_2}CA} - \widehat {{O_2}AC} = {180^0}\)

\( \Leftrightarrow 2(\widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC}) = {180^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\)vuông tại \(A\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AM\)là trung tuyến nên \(AM = BM = DM = \frac{{BC}}{2}\)

Xét tam giác \(BMA\) cân tại \(M \Rightarrow \widehat {MBA} = \widehat {MAB}\) mà \(\widehat {{O_1}BA} = \widehat {{O_1}AB}\,\,(cmt)\)nên:

\(\widehat {{O_1}BA} + \widehat {MBA} = \widehat {{O_1}AB} + \widehat {MAB} \Rightarrow \widehat {{O_1}AM} = \widehat {{O_1}BM} = {90^0}\)

\( \Rightarrow MA \bot A{O_1}\) tại \(A\) nên \(AM\)là tiếp tuyến của \(({O_1})\)

Tương tự ta cũng có \( \Rightarrow MA \bot A{O_2}\) tại \(A\) nên \(AM\)là tiếp tuyến của \(({O_2})\)