Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau. Một chất điểm chuyển

Xét hệ trục toạ độ \(Oxy\) như Hình, trong đó các trục \(Ox,Oy\) lần lượt là các đường phân giác của các góc tạo bởi \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Phương trình hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \({\Delta _1}:x + y = 0\) và \({\Delta _2}:x - y = 0\).

Giả sử chất điểm ở vị trí \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và chỉ chuyển động trong một góc vuông tương ứng với miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y > 0}\\{x - y > 0}\end{array}} \right.\) (điểm có toạ độ \((1;0)\) thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình \(x + y > 0\) và \(x - y > 0\).

Khoảng cách từ \(M\) đến hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + y = 0\) và \({\Delta _2}:x - y = 0\) lần lượt là: \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{x_0} + {y_0}}}{{\sqrt 2 }}\); \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{x_0} - {y_0}}}{{\sqrt 2 }}.\)

Suy ra \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) \cdot d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{{x_0} + {y_0}}}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{{x_0} - {y_0}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{x_0^2 - y_0^2}}{2}\). Do đó \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) \cdot d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{{x_0^2 - y_0^2}}{2} = 4 \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{8} - \frac{{y_0^2}}{8} = 1\). Vậy chất điểm \(M\) chuyển động trên một phần của đường hypebol \(\frac{{{x^2}}}{8} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).