Cho hai đường thẳng (d1):y = 2x - 1 và (d2):y = x + 2. a) Xác định tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép toán.

Hướng dẫn giải

 a) Gọi \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 1\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = x + 2.\)

Vì \(A\) thuộc đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 1\) nên ta có \[{y_A} = 2{x_A} - 1.\] Khi đó \(A\left( {{x_A};\,2{x_A} - 1} \right).\)

Vì \(A\) thuộc đường thẳng \[\left( {{d_2}} \right):y = x + 2\] nên ta có \(2{x_A} - 1 = {x_A} + 2,\) suy ra \({x_A} = 3.\)

Từ đó ta có \({y_A} = 2{x_A} - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5.\)

Vì vậy ta được \(A\left( {3;5} \right).\)

b) Đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right):y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) song song với \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 1\) nên ta có \(a = 2\) (thỏa mãn \(a \ne 0)\) và \(b \ne  - 1.\) Ta được hàm số \(y = 2x + b\) \(\left( {b \ne  - 1} \right).\)

Xét điểm \(B\) có hoành độ bằng \( - 1\) nên ta gọi \(B\left( { - 1;\,{y_B}} \right).\)

Điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = x + 2\) nên ta có \({y_B} =  - 1 + 2 = 1.\) Vì vậy \(B\left( { - 1;1} \right).\)

Đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right):y = 2x + b\) \(\left( {b \ne  - 1} \right)\) cắt đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = x + 2\) tại điểm \(B\left( { - 1;1} \right)\) nên thay \(x =  - 1,\,\,y = 1\) vào hàm số \(y = 2x + b,\) ta được:

\(1 = 2 \cdot \left( { - 1} \right) + b,\) suy ra \(b = 3\) (thỏa mãn \(b \ne  - 1).\)

Vậy \(a = 2\) và \(b = 3.\)