Cho hai đường thẳng d1:x + y - 1 = 0,d2:x - 3y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng d đối xứng với \d1 qua đường thẳng d2 là

35/38

Cho hai đường thẳng\[{d_1}:x + y - 1 = 0\],\[{d_2}:x - 3y + 3 = 0\]. Phương trình đường thẳng \(d\) đối xứng với \({d_1}\) qua đường thẳng \({d_2}\) là

\(x - 7y + 1 = 0\);

\(x + 7y + 1 = 0\);

\(7x + y + 1 = 0\);

\(7x - y + 1 = 0\).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Giao điểm \(A\) của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x - 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - 3y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;{\rm{ }}1} \right)\]

Lấy \(M\left( {1;{\rm{ }}0} \right) \in {d_1}\). Tìm \(M'\) đối xứng \(M\) qua \({d_2}\)

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và vuông góc với \({d_2}\): \(\Delta :3x + y - 3 = 0\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(\Delta \) và đường thẳng \({d_2}\). Tọa độ \(H\) là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 3 = 0\\x - 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\x - 3y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{6}{5}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{3}{5};{\rm{ }}\frac{6}{5}} \right)\]

Ta có \(H\) là trung điểm của \(MM'\). Từ đó suy ra tọa độ \(M'\left( {\frac{1}{5};{\rm{ }}\frac{{12}}{5}} \right)\)

Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(2\) điểm \(A\) và \(M'\): điểm đi qua \[A(0;{\rm{ }}1)\], vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AM'} = \left( {\frac{1}{5};{\rm{ }}\frac{7}{5}} \right)\) vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {\frac{7}{5};{\rm{ }} - \frac{1}{5}} \right)\)

\(d:\frac{7}{5}\left( {x - 0} \right) - \frac{1}{5}\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 7x - y + 1 = 0\).