Cho hai đường thẳng d1:3x + 4y + 12 = 0 và d2: x = 2 + at; y = 1 - 2t . Tìm các giá trị của tham số a để d1 và d2 hợp với nhau một góc bằng 45 độ

22/55

Cho hai đường thẳng \[{d_1}:3x + 4y + 12 = 0\] và \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\]. Tìm các giá trị của tham số $a$ để ${d_1}$ và ${d_2}$ hợp với nhau một góc bằng $45^\circ .$

\[a = \frac{2}{7}\] hoặc $a = - 14.$

\[a = \frac{7}{2}\] hoặc \[a = - 14\].

\[a = 5\] hoặc $a = - 14.$

\[a = \frac{2}{7}\] hoặc $a = 5.$

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\{\begin{cases} d_{1} : 3 x + 4 y + 12 = 0 \to {\vec{n}}_{1} = (3; 4) \\ d_{2} : \{\begin{cases} x = 2 + a t \\ y = 1 - 2 t \end{cases} \to {\vec{n}}_{2} = (2; a) \end{cases} \overset{φ = (d_{1}; d_{2}) = 45^{\circ}}{\to} \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos 45 ° = \cos φ = \frac{|6 + 4 a|}{\sqrt{25} . \sqrt{a^{2} + 4}}$

$ \Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + 4} \right) = 8\left( {4{a^2} + 12a + 9} \right) \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 14\\a = \frac{2}{7}\end{array} \right..$