Cho hai đường thẳng d : − 3 x + y − 5 = 0 và điểm M ( − 2 ; 1 ) . Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên d là

18/24

Cho hai đường thẳng \(d: - 3x + y - 5 = 0\) và điểm \(M\left( { - 2;\,\,1} \right)\). Tọa độ hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(d\) là

\(\left( { - \frac{7}{5};\,\,\frac{4}{5}} \right)\);

\(\left( {\frac{7}{5}; - \frac{4}{5}} \right)\);

\(\left( { - \frac{7}{5};\, - \frac{4}{5}} \right)\);

\(\left( { - \frac{5}{7};\,\frac{4}{5}} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(d: - 3x + y - 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( { - 3;\,\,1} \right)\), nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;\,\,3} \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\). Đường thẳng này có dạng \(x + 3y + m = 0\).

Vì \(M\left( { - 2;\,\,1} \right) \in \Delta \) nên \( - 2 + 3.1 + m = 0 \Rightarrow m = - 1\).

Do đó, phương trình của \(\Delta \) là \(x + 3y - 1 = 0\).

Tọa độ hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(d\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\ - 3x + y - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{7}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).