Cho hai đường thẳng d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0. Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau. Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải

Xét d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0 ta có:

a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = 1

a₂ = 2, b₂ = 5, c₂ = –3

Xét tỉ số:

\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{2}{2} = 1;\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{1}{5};\frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} = \frac{1}{{ - 3}} = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)

Do đó, d và k cắt nhau (điều cần phải chứng minh).

Giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\2x + 5y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = - 1\\2x + 5y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là (–1; 1).