Đáp án: 1039

Số phần tử không gian mẫu: \(n(\Omega ) = C_{20}^3 = 1140\).

· Số tập con lập thành cấp số cộng:

Gọi \(a,b,c\) là cấp số cộng thì \(a + c = 2b\) chẵn \( \Rightarrow a,c\) cùng tính chẵn lẻ. Chọn 2 số chẵn có \(C_{10}^2 = 45\) cách, chọn 2 số lẻ có \(C_{10}^2 = 45\) cách (mỗi cặp xác định duy nhất 1 giá trị \(b\) ở giữa). Có 90 bộ.

· Số tập con lập thành cấp số nhân \((a < b < c \Rightarrow ac = {b^2})\)

Ta có \[{\rm{a}},b,c\] lập thành CSN có công bội \(q < 1\) nên \(q = \frac{m}{n}\)\(\left( {m > n \ge 1} \right)\); \(\frac{m}{n}\) tối giản

\(c = a{q^2} = a\frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\) mà \(c \in \{ 1;2;...;20\} \)suy ra \(a \vdots {n^2}\)suy ra \(a = k{n^2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(b = aq = k{n^2}\frac{m}{n} = kmn\)

\(c = a{q^2} = k{n^2}\frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} = k{m^2}\)

Suy ra CSN đó là \(\left\{ {k{n^2};kmn;k{m^2}} \right\}\)

Vì \(c \le 20 \Rightarrow k{m^2} \le 20\) mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) suy ra \(m \in \left\{ {2;3;4} \right\}\)

TH1: \(m = 2;n = 1\)

\(k{m^2} \le 20\)Suy ra \(k \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)

\(\{ 1;2;4\} ,\{ 2;4;8\} ,\{ 3;6;12\} ,\{ 4;8;16\} ,\{ 5;10;20\} \)

TH2: \(m = 3;n = 1;n = 2\)

\(k{m^2} \le 20\)Suy ra \(k \in \left\{ {1;2} \right\}\)

Với \(m = 3;n = 1;k \in \left\{ {1;2} \right\}\)

\(\{ 1;3;9\} ,\{ 2;6;18\} \)

Với \(m = 3;n = 2;k \in \left\{ {1;2} \right\}\)

\(\{ 4;6;9\} ,\{ 8;12;18\} \)

TH3: \(m = 4;n \in \left\{ {1;3} \right\};k = 1\)( \(\frac{m}{n}\) tối giản nên \(n \ne 2\))

\(m = 4;n = 1;k = 1\): \(\{ 1;4;16\} \)

\(m = 4;n = 3;k = 1\): \(\{ 9;12;16\} \)

Tổng cộng có 11 bộ.

Nếu \[a;b;c\] vừa là CSC; vừa là CSN thì

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = 2b\\{b^2} = ac\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + c}}{2}} \right)^2} = ac \Leftrightarrow {\left( {a + c} \right)^2} = 4ac \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = c\) (loại)

Không có tập nào vừa là CSC vừa là CSN

Vậy xác suất là \(P = \frac{{90 + 11}}{{1140}} = \frac{{101}}{{1140}}\).

Suy ra \(a = 101,b = 1140 \Rightarrow b - a = 1039\).

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?