Cho hai điểm phân biệt A và B. a) Hãy xác định điểm K sao cho

a) Cách 1:

Giả sử có điểm K thỏa mãn KA→+2KB→=0→. Khi đó KA→=−2KB→ . Suy ra hai vectơ KA⇀ và  KB⇀cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB.

Cách 2:

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra MA→+MB→=0→ .

Khi đó ta có: KA→+2KB→=0→.

⇔KM→+MA→+2KM→+MB→=0→⇔KM→+MA→+2KM→+2MB→=0→⇔KM→+2KM→+MA→+MB→+MB→=0→⇔3KM→+MB→=0→ (vì MA→+MB→=0→)⇔3KM→=−MB→⇔3KM→=BM→⇔KM→=13BM→⇔MK→=13MB→

Suy ra vecto MK⇀ cùng hướng với vectơ  MB⇀ và thỏa mãn

Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn MK=13MB.

b)

Cách 1:

Ta có:  

 13OA→+23OB→=13OK→+KA→+23OK→+KB→=13OK→+13KA→+23OK→+23KB→=13OK→+23OK→+13KA→+23KB→=OK→+13KA→+2KB→

Mà  KA→+2KB→=0→ (theo câu a) do đó  13OA→+23OB→=OK→+13.0→=OK→

Vậy với mọi điểm O, ta có:  OK→=13OA→+23OB→.

Cách 2:

Ta có: OK→=OM→+MK→

Theo câu a ta có  MK→=13MB→=13MO→+OB→

Do đó OK→=OM→+MK→=OM→+13MO→+OB→=OM→+13MO→+13OB→

 =OM→−13OM→+13OB→=23OM→+13OB→

OA→+OB→=2OM→⇒OM→=12OA→+OB→

Vì M là trung điểm của AB nên  OA→+OB→=2OM→⇒OM→=12OA→+OB→

=23.12OA→+OB→+13OB→=13OA→+OB→+13OB→

⇒OK→=13OA→+13OB→+13OB→=13OA→+23OB→

Vậy với mọi điểm O, ta có:  OK→=13OA→+23OB→.