Cho hai điểm P( {6;1} \ và \(Q( { - 3; - 2} và đường thẳng

13/55

Cho hai điểm \(P\left( {6;1} \right)\) và \(Q\left( { - 3; - 2} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y - 1 = 0\). Tọa độ điểm \(M\) thuộc \(\Delta \) sao cho \(MP + MQ\) nhỏ nhất.

\(M\left( {0; - 1} \right)\).

\(M\left( {3;5} \right)\).

\(M\left( {2;3} \right)\).

\(M\left( {1;1} \right)\).

Giải thích

Ta có \(P,Q\) nằm khác phía với đường thẳng \(\Delta \).

Khi đó \(MP + MQ \ge PQ\).

Vậy để \(MP + MQ\) nhỏ nhất thì \(P,M,Q\) thẳng hàng hay \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(PQ\) và đường thẳng \(\Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 9; - 3} \right) = - 3\left( {3;1} \right)\).

Suy ra đường thẳng \(PQ\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(PQ\).

Đường thẳng \(PQ\) đi qua \(P\left( {6;1} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x - 6} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x - 3y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {0; - 1} \right)\). Chọn A.