Cho hai điểm \({F_1}( - căn bậc hai 2 ; - căn bậc hai 2 ),{F_2}(căn bậc hai 2 ;căn bậc hai 2 )\).

21/22

Cho hai điểm \({F_1}( - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 ),{F_2}(\sqrt 2 ;\sqrt 2 )\). Với mọi điểm \(M(x;y)\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\), ta đều có \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = a\). Khi đó \(a = ?\)

Giải thích

Gọi \(M(x;y)\) thuộc đồ thị hàm \(y = \frac{1}{x} \Rightarrow M\left( {x;\frac{1}{x}} \right)\).

\(\begin{array}{l}M{F_1} = \sqrt {{{(x + \sqrt 2 )}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} + \sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{x} + 2} \\ = \sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{x} + \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left| {x + \frac{1}{x} + \sqrt 2 } \right|;M{F_2} = \sqrt {{{(x - \sqrt 2 )}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} - \sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = \sqrt {{x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{2\sqrt 2 }}{x} + 2} = \sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{x} - \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left| {x + \frac{1}{x} - \sqrt 2 } \right|\end{array}\)

Trường hợp 1: \(x > 0\), ta có \(M{F_1} = x + \frac{1}{x} + \sqrt 2 > 0\); \(x + \frac{1}{x} \ge 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} - \sqrt 2 > 0 \Rightarrow M{F_2} = x + \frac{1}{x} - \sqrt 2 > 0\). Khi đó: \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 2 \).

Trường hợp 2: \(x < 0\), ta có \(M{F_2} = - x - \frac{1}{x} + \sqrt 2 \); \( - x + \frac{{ - 1}}{x} \ge 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} \le - 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} < - \sqrt 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} + \sqrt 2 < 0\).

Suy ra: \(M{F_1} = - x - \frac{1}{x} - \sqrt 2 \). Khi đó: \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 2 \).

Vậy với mọi \(x\) khác 0, ta có \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 2 \).