Cho hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ xy. Hãy tìm trên xy hai điểm C và D sao cho CD = a cho trước và chu vi tứ giác ABCD là nhỏ nhất.

Giả sử đã dựng được hai điểm C và D ∈xysao cho CD = a và chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất.

Vẽ hình bình hành BMDC (điểm M ở phía gần A).

Khi đó BM = CD = a và DM = BC

Vẽ điểm N đối xứng với điểm M qua xy, điểm N là một điểm cố định và DN = DM.

Ta có AB + BC + CD+ DA nhỏ nhất

<=> BC + DA nhỏ nhất (vì AB và CD không đổi)

<=> DM + DA nhỏ nhất <=> DN + DA nhỏ nhất <=> D nằm giữa A và N.

Từ đó ta xác định điểm D như sau:

- Qua B vẽ một đường thẳng song song với xy và trên đó lấy điểm M sao cho BM = a(điểm M ở phía gần A);

- Vẽ điểm N đối xứng với M qua xy;

- Lấy giao điểm D của AN với xy;

- Lấy điểm C∈xy sao cho DC = MB = a (DC và MB cùng chiều).

Khi đó tổng AB + BC + CD + DA nhỏ nhất.

Phần chứng minh dành cho bạn đọc.