Cho hai điểm A, B cố định trong không gian có độ dài AB là \(4\). Biết rằng tập hợp các điểm \(M\) trong không gian sao cho \(MA = 3MB\) là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng

Phương pháp giải:

\(MA = 3MB \Leftrightarrow M{A^2} = 9M{B^2}\), chèn điểm \(I\) tìm \(M\) từ đó suy ra bán kính mặt cầu tâm \(I\).

Giải chi tiết:

Ta có:

                 \[MA = 3MB \Leftrightarrow M{A^2} = 9M{B^2}\]

    \[ \Leftrightarrow {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} = 9{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2}\]

  \[ \Leftrightarrow I{A^2} - 9I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} ) = 8M{I^2}\qquad (1)\]

Gọi \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow {AB} \)

nên

                              \[IB = \frac{1}{2},\quad IA = \frac{9}{2}.\]

Từ \((1)\) suy ra:

  \[8M{I^2} = 18 \Rightarrow MI = \frac{3}{2} \Rightarrow M \in S\left( {I;\frac{3}{2}} \right).\]