Cho hai điểm A {3; - 1;2} , B {2;3; - 3} C { - 2;1; - 2}

19/22

Cho hai điểm \(A\left( {3; - 1;2} \right)\), \(B\left( {2;3; - 3} \right)\), \(C\left( { - 2;1; - 2} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {Oyz} \right)\). Gọi \(M(a;b;c)\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \) có giá trị min . Tính tổng \(a - 2b + c\).

Giải thích

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\), sao cho \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow I\) là trong tâm \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow \) \(I\left( {1;1; - 1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \)

\( = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\)

\( = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\), (mà \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \))

\( = 3M{I^2} + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\)

Vì điểm \(I,A,B,C\) cố định nên \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} \) có giá trị không đổi.

Để \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \) có giá trị min \( \Leftrightarrow MI\) min.

Mà \(I\) cố định nên \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên\(\left( {Oyz} \right)\), suy ra \(M\left( {0;1; - 1} \right)\).

Vậy \(a - 2b + c = 0 - 2.1 - 1 = - 3\).