Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết lim un = −∞ và vn ≤ un với mọi n

Vì lim un = −∞ nên lim(−un) = +∞. Do đó (−un) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)

Mặt khác, vì vn ≤ un với mọi n nên (−vn) ≥ (−un) với mọi n. (2)

Từ (1) và (2) suy ra (−vn) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, lim(−vn) = +∞ hay lim vn = −∞