Cho hai dãy số u_n = (n^2 + 1)/(2n^2 − 3) và v_n = (1 − 3n)/(2n^2 + n). Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

18/25

Cho hai dãy số u_n = \(\frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} - 3}}\) và v_n = \(\frac{{1 - 3{n^2}}}{{{n^2} + n}}\).Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)= \(\frac{1}{2}\).

ĐúngSai

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\)= -3.

ĐúngSai

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) = \( - \frac{5}{2}\).

ĐúngSai

Dãy số \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {w_n} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}}} = - \frac{1}{6}\).

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Chia cả tử và mẫu của u_n cho n², ta được \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 - \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{2}\).

b) Đúng. Chia cả tử và mẫu của v_n cho n², ta được \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} - 3}}{{1 + \frac{1}{n}}} = - \frac{3}{1} = - 3\).

c) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n + v_n) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = \(\frac{1}{2}\) + (-3) = \( - \frac{5}{2}\).

d) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) = \(\frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}}}\) = \(\frac{1}{2}:\left( { - 3} \right) = - \frac{1}{6}\).