Cho hai dãy số u_n = căn bậc hai của (n^2 + 2n) − n và v_n = căn bậc hai của (4n^2 + 8n) − 2n. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng.

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{n^2} + 2n} \right) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2}\left( {1 + \frac{2}{n}} \right)} + n}}\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n}}{{n\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n}}{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1} \right)}}\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1}} = \frac{2}{2} = 1\).

b) Đúng.

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {4{n^2} + 8n} - 2n} \right)\left( {\sqrt {4{n^2} + 8n} + 2n} \right)}}{{\sqrt {4{n^2} + 8n} + 2n}}\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {4{n^2} + 8n} \right) - 4{n^2}}}{{\sqrt {4{n^2}\left( {1 + \frac{8}{{4n}}} \right)} + 2n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{8n}}{{2n\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 2n}}\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{8n}}{{2n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{8}{{2\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1} \right)}} = \frac{8}{{2\left( {\sqrt {1 + 0} + 1} \right)}} = 2\).

c) Đúng. Theo quy tắc tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n + v_n) = 1 + 2 = 3.

d) Sai. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) = \(\frac{1}{2}\) = 2 (không phải 4).