Cho hai dãy số u_n = 2^n/(3^n + 1) và v_n = 3^n/(2^n + 3^n). Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. Chia cả tử và mẫu của u_n cho 3ⁿ, ta được \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = \frac{0}{1} = 0\).

b) Đúng. Chia cả tử và mẫu của v_n cho 3ⁿ, ta được \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\[\frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 1}} = \frac{1}{1} = 1\].

c) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n + v_n) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = 0 + 1 = 1.

d) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n ∙ v_n) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n ∙ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = 0 ∙ 1 = 0.