Cho hai dãy số u_n = (2n − 1)/(n + 1) và v_n = (n + 2)/(an − 1), với a là tham số thực khác 0. Biết lim khi n → dương vô cùng của (u_n × v_n) = 1, xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

20/25

Cho hai dãy số u_n = \(\frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\) và v_n = \(\frac{{n + 2}}{{an - 1}}\) với a là tham số thực khác 0. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n∙ v_n) = 1, xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = 2.

ĐúngSai

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = \(\frac{1}{a}\).

ĐúngSai

Giá trị của tham số a = 1.

ĐúngSai

Với giá trị a tìm được ở trên, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n + v_n) = \(\frac{5}{2}\).

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{1 + \frac{1}{n}}} = 2\).

b) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{n}}}{{a - \frac{1}{n}}} = \frac{1}{a}\).

c) Sai. Theo quy tắc giới hạn tích: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n∙ v_n) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n ∙ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = \(2 \cdot \frac{1}{a} = \frac{2}{a}\).

Vì \(\frac{2}{a}\) = 1 nên a = 2.

d) Đúng. Khi a = 2, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = \(\frac{1}{2}\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n + v_n) = \(2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).