Cho hai đa thức: P ( x ) = 3 x^2 + 7 + 2 x^4 − 3 x^2 − 4 − 5 x + 2 x^3 ; Q ( x ) = − 3 x^3 + 2 x^2 − x^4 + x + x^3 + 4 x − 2 + 5 x^4 . (a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức tr

a) \(P\left( x \right) = 3{x^2} + 7 + 2{x^4} - 3{x^2} - 4 - 5x + 2{x^3}\)

\( = 2{x^4} + 2{x^3} - 5x + 3\).

\(Q\left( x \right) = - 3{x^3} + 2{x^2} - {x^4} + x + {x^3} + 4x - 2 + 5{x^4}\)

\( = 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} + 5x - 2\).

b) Đa thức \(P\left( x \right)\) có bậc là 4.

Đa thức \(Q\left( x \right)\) có bậc là 4.

c) \(G\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)

\(G\left( x \right) = 2{x^4} + 2{x^3} - 5x + 3 + 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} + 5x - 2\)

\[ = 6{x^4} + 2{x^2} + 1\].

Với mọi giá trị \(x\), ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}6{x^4} \ge 0\\2{x^2} \ge 0\end{array} \right.\].

Do đó \[6{x^4} + 2{x^2} + 1 \ge 1\], với mọi \(x\)

Suy ra \(G\left( x \right) \ge 1 > 0\), với mọi \(x\)

Vậy \(G(x)\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\).