Cho hai đa thức: M(x) = 3x + x^4 − 4x^3 − x^2 − 2x^4 + 4x^3 − x − 5; N(x) = 2x + 3. a) Rút gọn và sắp xếp đa thức M(x) theo lũy thừa giảm dần của biến.

a) Rút gọn và sắp xếp đa thức \(M\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến, ta được:

\(M\left( x \right) = 3x + {x^4} - 4{x^3} - {x^2} - 2{x^4} + 4{x^3} - x - 5\)

\( = \left( {{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {4{x^3} - 4{x^3}} \right) - {x^2} + \left( {3x - x} \right) - 5\)

\( =  - {x^4} - {x^2} + 2x - 5\).

Vậy \(M\left( x \right) =  - {x^4} - {x^2} + 2x - 5\).

b) \(A\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right) = \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right) + \left( {2x + 3} \right)\)

\( =  - {x^4} - {x^2} + 2x - 5 + 2x + 3\)

\[ =  - {x^4} - {x^2} + \left( {2x + 2x} \right) + \left( {3 - 5} \right)\]

\[ =  - {x^4} - {x^2} + 4x - 2\].

\[B\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right) - \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right)\]

                \[ = 2x + 3 + {x^4} + {x^2} - 2x + 5\]

                \[ = {x^4} + {x^2} + \left( {2x - 2x} \right) + \left( {3 + 5} \right)\]

                \[ = {x^4} + {x^2} + 8\]  

Vậy \[A\left( x \right) =  - {x^4} - {x^2} + 4x - 2\]; \[B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8\].

c) Nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là

\(2x + 3 = 0\)

\(2x =  - 3\)

\(x =  - \frac{3}{2}\).

Vậy nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là \(x =  - \frac{3}{2}\).