Cho hai đa thức: A ( x ) = − x^4 − x^3 + 2 x^2 + 2 x^3 − x − 3 ; B ( x ) = x^4 + 2 x^3 − 2 x + 12 + 3 x^2 − x^3 − x^4 . (a) Thu gọn và sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của biến của hai đa th

a) \(A\left( x \right) = - {x^4} - {x^3} + 2{x^2} + 2{x^3} - x - 3\)

\( = - {x^4} + \left( { - {x^3} + 2{x^3}} \right) + 2{x^2} - x - 3\)

\( = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3\)

\(B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x + 12 + 3{x^2} - {x^3} - {x^4}\)

\( = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {2{x^3} - {x^3}} \right) + 3{x^2} - 2x + 12\)

\( = {x^3} + 3{x^2} - 2x + 12\)

b) Đa thức \(B\left( x \right)\) có bậc là 3 và hệ số tự do là 12.

c) Ta có \(M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

Suy ra \[M\left( x \right) = \left( { - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right) - \left( {{x^3} + 3{x^2} - 2x + 12} \right)\]

\[M\left( x \right) = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3 - {x^3} - 3{x^2} + 2x - 12\]

\[ = - {x^4} + \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( { - x + 2x} \right) + \left( { - 3 - 12} \right)\]

\( = - {x^4} - {x^2} + x - 15\)

Ta có \(N\left( x \right) - \left( {{x^4} + 15} \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

Suy ra \(N\left( x \right) = M\left( x \right) + \left( {{x^4} + 15} \right)\)

Do đó \(N\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + x - 15 + {x^4} + 15\)

\( = - {x^2} + x\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\), ta cho \(N\left( x \right) = 0\)

Tức là \( - {x^2} + x = 0\)

\( - x\left( {x - 1} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).

Vậy nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\).