Cho hai đa thức A ( x ) = x^3 − 3 x^2 − x − 4 + 4 x^2 − x ; B ( x ) = x^4 + 2 x^2 − 5 x − x^2 + 6 + x^3 − x^4 . (a) Thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của hai đa thức trên.

a) \[A\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - x - 4 + 4{x^2} - x\]

\( = {x^3} + \left( { - 3{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( { - x - x} \right) - 4\)

\( = {x^3} + {x^2} - 2x - 4\).

\[B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 5x - {x^2} + 6 + {x^3} - {x^4}\]

\( = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + {x^3} + \left( {2{x^2} - {x^2}} \right) - 5x + 6\)

\( = {x^3} + {x^2} - 5x + 6\).

b) Bậc của đa thức \(B\left( x \right)\) là 3, hệ số cao nhất là 1.

c) \(M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

\(M\left( x \right) = \left( {{x^3} + {x^2} - 2x - 4} \right) - \left( {{x^3} + {x^2} - 5x + 6} \right)\)

\( = {x^3} + {x^2} - 2x - 4 - {x^3} - {x^2} + 5x - 6\)

\( = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 2x + 5x} \right) + \left( { - 4 - 6} \right)\)

\( = 3x - 10\)

Ta có \(M\left( x \right) = 0\) tức là \(3x - 10 = 0\), suy ra \(x = \frac{{10}}{3}\).

Vậy đa thức \(M\left( x \right)\) có nghiệm là \(x = \frac{{10}}{3}\).