Cho hai đa thức: A ( x ) = 3 x^4 − 2 x^2 + 12 − 3 x^4 + x^3 + 2 x − 15 ; B ( x ) = − x^3 − 5 x^4 − 2 x + 3 x^2 + 2 + 5 x^4 − 12 x − 3 − x^2 . (a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử hai đa thức

a) \(A\left( x \right) = 3{x^4} - 2{x^2} + 12 - 3{x^4} + {x^3} + 2x - 15\)

\( = \left( {3{x^4} - 3{x^4}} \right) + {x^3} - 2{x^2} + 2x + \left( {12 - 15} \right)\)

\( = {x^3} - 2{x^2} + 2x - 3\)

\(B\left( x \right) = - {x^3} - 5{x^4} - 2x + 3{x^2} + 2 + 5{x^4} - 12x - 3 - {x^2}\)

\( = \left( { - 5{x^4} + 5{x^4}} \right) - {x^3} + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 2x - 12x} \right) + \left( {2 - 3} \right)\)

\( = - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1\)

b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có hệ số cao nhất là \(1\) và hệ số tự do là \( - 3\).

c) Ta có \(M\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right)\)

\(M\left( x \right) = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 2x - 3} \right) + \left( { - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1} \right)\)

\( = {x^3} - 2{x^2} + 2x - 3 - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1\)

\( = - 12x - 4\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\), ta cho \(M\left( x \right) = 0\)

Do đó \( - 12x - 4 = 0\), suy ra \(x = - \frac{1}{3}\).

Vậy \(x = - \frac{1}{3}\) là nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).