Cho hai cốc thủy tinh không nắp (không chứa nước) gồm một cốc dạng hình trụ và một cốc có phần đựng nước dạng hình nón với bề dày thành cốc và đáy cốc không đáng kể
8/8
(1,0 điểm)
Cho hai cốc thủy tinh không nắp (không chứa nước) gồm một cốc dạng hình trụ và một cốc có phần đựng nước dạng hình nón với bề dày thành cốc và đáy cốc không đáng kể, biết hình trụ và hình nón có cùng chiều cao và cùng bán kính đáy (tham khảo hình vẽ). Bạn Chi lấy một chai nước, đầu tiên đổ nước từ chai vào cốc hình trụ cho đến khi đầy rồi đổ tiếp vào cốc hình nón thì vừa hết nước trong chai và khi đó chiều cao của nước trong cốc hình nón bằng một nửa chiều cao của hình nón. Hỏi với cùng lượng nước ban đầu, bạn Chi đổ nước từ chai vào cốc hình nón trước cho đến khi đầy rồi đổ phần nước còn lại vào cốc hình trụ thì chiều cao của nước trong cốc hình trụ bằng bao nhiêu phần chiều cao của cốc hình trụ?
Gọi \({r_1}\), \({h_1}\) lần lượt là bán kính và chiều cao của phần hình nón chứa nước.
\(R\), \(h\) lần lượt là bán kính và chiều cao của hình trụ.
Theo bài ra ta có: \(\frac{{{r_1}}}{R} = \frac{{{h_1}}}{h} = \frac{1}{2}\), suy ra \({h_1} = \frac{h}{2}\).
Thể tích hình trụ là: \({V_1} = \pi {R^2}h\).
Thể tích của hình nón là: \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}{V_1}\)
Thể tích nước là: \({V_3} = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}\frac{h}{2} = \frac{1}{{24}}\pi {R^2}h = \frac{1}{{24}}{V_1}\) \(\)
Thể tích chai nước là: \({V_1} + {V_3} = {V_1} + \frac{1}{{24}}{V_1} = \frac{{25}}{{24}}{V_1}\)
Thể tích nước đổ vào hình trụ sau khi đổ đầy hình nón là:
\(\frac{{25}}{{24}}{V_1} - \frac{1}{3}{V_1} = \frac{{17}}{{24}}{V_1} = \frac{{17}}{{24}}\pi {R^2}h = \pi {R^2}\left( {\frac{{17}}{{24}}h} \right)\)
Vậy chiều cao của nước trong cốc hình trụ bằng \(\frac{{17}}{{24}}\) chiều cao của cốc hình trụ.