Cho hai chất điểm M và N lần lượt bắt đầu di chuyển ngược chiều nhau từ hai vị trí A và B. Đồ thị vận tốc theo thời gian v1(t) của chất điểm M là một hàm số bậc hai trên bậc nhất, đồ thị v2(t

Đối với chất điểm \(N\): Đồ thị \({v_2}\left( t \right)\) là đường thẳng qua gốc tọa độ nên có dạng \({v_2}\left( t \right) = kt\).
Tại \(t = 3,\,{v_2}\left( 3 \right) = 6 \Leftrightarrow 3k = 6 \Rightarrow k = 2\)
Vậy phương trình vận tốc và gia tốc của \(N\) là: \({v_2}\left( t \right) = 2t \Rightarrow {a_2}\left( t \right) = {v_2}^\prime \left( t \right) = 2\)(m/s2)
Đối với chất điểm \(M\): Đồ thị \({v_1}\left( t \right)\) là một hàm số bậc hai trên bậc nhất có dạng tổng quát là\({v_1}\left( t \right) = \frac{{a{t^2} + bt + c}}{{mt + n}}\)
Vì đồ thị đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) nên \({v_1}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\) nên hàm số \({v_1}\left( t \right) = \frac{{a{t^2} + bt}}{{mt + n}}\)
Tại \(t = 3\) thì \({v_1}\left( 3 \right) = 6 \Rightarrow \frac{{9a + 3b}}{{3m + n}} = 6 \Leftrightarrow 3a + b = 6m + 2n \Rightarrow b = \,6m + 2n - 3a\,\,\,\left( 1 \right)\)
Hàm số đạt cực đại tại \(t = 3\) nên đạo hàm \({v_1}^\prime \left( 3 \right) = 0\):
\({v_1}^\prime \left( t \right) = \frac{{am{t^2} + 2ant + bn}}{{{{\left( {mt + n} \right)}^2}}} \Rightarrow {v_1}^\prime \left( 3 \right) = \frac{{9am + 6an + bn}}{{{{\left( {3m + n} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 9am + 6an + bn = 0\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\)ta được:
\(9am + 6an + \left( {6m + 2n - 3a} \right)n = 0 = 9am + 3an + 6mn + 2{n^2} = \left( {3a + 2n} \right)\left( {3m + n} \right) = 0\)
Vì \(t = 3\) là điểm cực đại nên mẫu số không thể bằng \(0\) tại đó, tức là \(3m + n \ne 0\).
Do đó \(3a + 2n = 0 \Rightarrow a = - \frac{2}{3}n\) suy ra \(b = 6m + 2n - 3\left( { - \frac{2}{3}n} \right) = 6m + 4n\)
Thay \(a\) và \(b\) vào phương trình đạo hàm (gia tốc của\(M\)):\[{a_1}\left( t \right) = \frac{{ - \frac{2}{3}mn{t^2} - \frac{4}{3}{n^2}t + 6mn + 4{n^2}}}{{{{\left( {mt + n} \right)}^2}}}\]
Tại \(t = 1\) giây thì gia tốc hai chất điểm bằng nhau: \({a_1}\left( 1 \right) = {a_2}\left( 1 \right) = 2\) .
Thay \(t = 1\) vào phương trình : \[{a_1}\left( 1 \right) = \frac{{ - \frac{2}{3}mn{{\left( 1 \right)}^2} - \frac{4}{3}{n^2}\left( 1 \right) + 6mn + 4{n^2}}}{{{{\left( {m + n} \right)}^2}}}\, = 2\,\left( * \right)\]
Từ \[\left( * \right) \Rightarrow \frac{{\frac{{16}}{3}mn + \frac{8}{3}{n^2}}}{{{{\left( {m + n} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{8}{3}mn + \frac{4}{3}{n^2} = {m^2} + 2mn + {n^2} \Leftrightarrow {n^2} + 2mn - 3{m^2} = 0\]
\( \Leftrightarrow \left( {n - m} \right)\left( {n + 3m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - m = 0\\n + 3m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 3m\,\,\left( l \right)\\n = m\,\,\left( n \right)\end{array} \right.\)
Với \(n = m \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{2}{3}m}\\{b = 6m + 4m = 10m}\end{array}} \right.\) nên \({v_1}\left( t \right) = \frac{{ - \frac{2}{3}m{t^2} + 10mt}}{{mt + n}} = \frac{{m\left( { - \frac{2}{3}{t^2} + 10t} \right)}}{{m\left( {t + 1} \right)}} = \frac{{ - \frac{2}{3}{t^2} + 10t}}{{t + 1}}\)
Khi hai vật gặp nhau thì \(\int\limits_0^T {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} + \int\limits_0^T {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} = 14\)
$\iff \underset{0}{\overset{T}{\int }}\left(\frac{-\frac{2}{3}{t}^2+10t}{t+1}\right)\text{d}t+\underset{0}{\overset{T}{\int }}2t\text{d}t=14\stackrel{ShiftSolve}{\to }T=\mathrm{2,17}$ (giây)