Cho hai biểu thức: x = căn bậc ba của 7 + 5 căn bậc hai của 2 và y = căn bậc ba của 7 − 5 căn bậc hai của 2. Đặt S = x + y, khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.     b) Sai.                c) Đúng.            d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \(x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{1 + 3\sqrt 2 + 6 + 2\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 1 + \sqrt 2 \).

b) Sai.

Ta có: \(x.y = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} \cdot \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}} = \sqrt[3]{{{7^2} - {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}}} = - 1\).

c) Đúng.

Ta có:

S = x + y

\( = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\)

\( = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^3}}}\)

\( = 1 + \sqrt 2 + 1 - \sqrt 2 = 2\).

d) Đúng.

Thay vào phương trình a³ + 3a – 14 = 0, ta có: 2³ + 3.2 – 14 = 8 +6 – 14 = 0 (đúng).

Do đó, giá trị của biểu thức S là nghiệm của phương trình a³ + 3a – 14 = 0.