Cho hai biểu thức P = ((x - 6 căn (x) + 1)/(x - 1) - ( căn(x) - 1)/(căn (x) + 1)): (x + 4)/(1-x) và Q = căn x/(x + 4) (với x >=0; x khác 1)

1) Theo bài ra Q=xx+4 với x≥0;  x≠1.

Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức Q  ta có: Q=44+4=28=14.

2) Với x≥0;  x≠1, ta có:

P=x−6x+1x−1−x−1x+1:x+41−x=x−6x+1x−1x+1−x−1x+1:x+41−x

=x−6x+1−x−12x−1x+1⋅1−xx+4=x−6x+1−x+2x−1x−1⋅1−xx+4

=−4xx−1⋅−x−1x+4=4xx+4=4⋅xx+4=4⋅Q.

Vậy P=4Q với x≥0;  x≠1.

3) Ta có P=4xx+4 với x≥0;  x≠1.

Với x≥0;  x≠1. ta có 4x≥0 và x+4>0 nên P=4xx+4≥0  1

Ta cũng có: P=4xx+4=x+4−x−4x+4x+4=1−x−22x+4.

Với x≥0;  x≠1, ta có x−22≥0 và x+4>0 nên x−22x+4≥0⇒1−x−22x+4≤1 

Hay P≤1       2.

Từ (1) và (2) suy ra 0≤P≤1. 

Mà P nhận giá trị là số nguyên nên P∈0;  1.

• Với P = 0 ta có 4xx+4=0⇔x=0⇔x=0 (thỏa mãn);

• Với P = 1 ta có 4xx+4=1⇔4x=x+4⇔x+4−4x=0

⇔x−22=0⇔x−2=0⇔x=4 (thỏa mãn).

Vậy x∈0;  4 thì P nhận giá trị là số nguyên.