Cho hai biểu thức P = ( x - 6 căn bậc hai x+ 1/ x-1- căn bậc hai x-1 / căn bậ chai x+ 1

1/5

Cho hai biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 6\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{x + 4}}{{1 - x}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}\) (với \(x \ge 0;x \ne 1\)).

a) Tính giá trị biểu thức \(Q\) với \(x = 4\) .

b) Chứng minh rằng \(P = 4Q\).

c) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(P\) nhận giá trị là số nguyên.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Theo bài ra \(Q = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

Thay \(x = 4\)(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta có: \(Q = \frac{{\sqrt 4 }}{{4 + 4}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

b) Với \(x \ge 0;x \ne 1\) ta có:

\(P = \left( {\frac{{x - 6\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{x + 4}}{{1 - x}}\)

\(P = \left[ {\frac{{x - 6\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right]:\frac{{x + 4}}{{1 - x}}\)

\(p = \frac{{x - 6\sqrt x + 1 - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{1 - x}}{{x + 4}}\)

\(P = \frac{{x - 6\sqrt x + 1 - x + 2\sqrt x - 1}}{{x - 1}}.\frac{{1 - x}}{{x + 4}}\)

\(P = \frac{{ - 4\sqrt x }}{{x - 1}}.\frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{x + 4}}\)

\(P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}}\)

\(P = 4.\frac{{\sqrt x }}{{x + 4}} = 4.Q\)

Vậy \(P = 4Q\)với \(x \ge 0;x \ne 1\).

c) Ta có \(P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

Với \(x \ge 0;x \ne 1\) ta có \(4\sqrt x \ge 0;x + 4 > 0\)\( \Rightarrow P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} \ge 0\left( 1 \right)\)

Ta cũng có: \(P = \frac{{x + 4 - \left( {x - 4\sqrt x + 4} \right)}}{{x + 4}} = 1 - \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{x + 4}} \le 1\)với \(x \ge 0;x \ne 1\)

Do đó \(P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} \le 1\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow 0 \le P \le 1\). Mà \(P\) nhận giá trị là số nguyên nên \(P \in \left\{ {0;1} \right\}\).

+ Với \(P = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn)

+ Với \(P = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} = 1 \Leftrightarrow x + 4 = 4\sqrt x \Leftrightarrow x + 4 - 4\sqrt x = 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn).

Vậy \(x \in \left\{ {0;4} \right\}\) thì \(P\) nhận giá trị là số nguyên