Cho hai biểu thức  P = (x + 3)/ căn bậc 2( x)  - 2

1.Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 9\).

Với \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện) thay vào \[P\] ta có:

\[P = \frac{{9 + 3}}{{\sqrt 9  - 2}}\].\[ = \frac{{9 + 3}}{{3 - 2}} = \frac{{12}}{1} = 12\]2.Rút gọn biểu thức \(Q\).

Với \[x > 0,x \ne 4\], ta có:

\[Q = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{5\sqrt x  - 2}}{{x - 4}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) + 5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - 3\sqrt x  + 2 + 5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\].3.Tìm giá trị của \(x\) để biểu thức \[\frac{P}{Q}\] đạt giá trị nhỏ nhất

Với \(x \ge 0,x \ne 4\), ta có:

\[\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 2}}.\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + \frac{3}{{\sqrt x }}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm \(\sqrt x \) và \(\frac{3}{{\sqrt x }}\) ta có:

\(\sqrt x  + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} \)

\( \Rightarrow \frac{P}{Q} \ge 2\sqrt 3 \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\sqrt x  = \frac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\frac{P}{Q}\) là \(2\sqrt 3 \) tại \(x = 3\).