Cho hai biểu thức P = căn bậc hai của 14 − 6 căn bậc hai của 5 và Q = căn bậc hai của 12 + 2 căn bậc hai của 35. Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.     b) Đúng.            c) Sai.                d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: \(P = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } = \sqrt {9 - 2.3.\sqrt 5 + 5} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 5 \).

b) Đúng.

Ta có: \(Q = \sqrt {12 + 2\sqrt {35} } = \sqrt {7 + 2.\sqrt {7.5} + 5} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt 7 + \sqrt 5 \).

c) Sai.

Ta có: P + Q = \(3 - \sqrt 5 + \sqrt 5 + \sqrt 7 = 3 + \sqrt 7 \).

Vì \(\sqrt 7 > 2\) nên \(\sqrt 7 + 3 > 2 + 3\) hay P + Q > 5.

d) Sai.

Có \(3 - \sqrt 5 < 3 - 2\) nên 0 < P < 1.

     \(\sqrt 4 + \sqrt 4 < \sqrt 7 + \sqrt 5 < 5\) hay 4 < Q < 5.

Do đó: 0 < P < 1 < Q < 5.

Vậy các số nguyên nằm giữa P và Q là: 1; 2; 3; 4.

Vậy có 4 số nguyên nằm giữa P và Q.

Bài 16. Cho \(A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \) và \(B = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } \). Hãy tìm số nguyên nằm giữa A và B.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Ta có: \(A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1\).

           \(B = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } = \sqrt {6 - 2\sqrt 6 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 6 + 1\).

Nhận thấy \(\sqrt 3 < \sqrt 4 \) nên \(\sqrt 3 + 1 < \sqrt 4 + 1\) hay A < 3.

                \(\sqrt 6 > \sqrt 4 \) nên \(\sqrt 6 + 1 > 3\) hay B > 3.

Lại có: \(\sqrt 6 > \sqrt 9 \) nên \(\sqrt 6 + 1 < \sqrt 9 + 1\) hay B < 4.

Do đó, ta có: A < 3 < B < 4.

Vậy số nguyên nằm giữa A và B là 3.